De modo Formal - Interpolação

Dado uma tabela da forma acima mostrada, com n+1 pontos distintos, sendo x um ponto diferente dos dados, inerpolar o ponto x à tabela é calcular f(x).

Cálculo do erro

Como estamos usando interpolação polinoial de grau 1, o gráfico gerado é composto por diversas retas, logo, para se calcular o erro envolvido, calcularemos o erro nas retas extremas(feitas nos pontos extremos) e nas retas centrais.
Para tanto, usaremos a fórmula acima.

Como interpolar - Passo a passo.

Para a execução da interpolação polinomial de grau 1, o aluno deverá escolher dois pontos dados da função e achar o ponto médio entre eles, e então deve desenhar o gráfico.A seguir, pega-se o ponto médio entre o 1° e o 2° ponto, e o ponto médio entre o 2° e o 3° ponto, obtendo-se 5 pontos, e então deve-se desenhar outro gráfico.
O aluno deve continuar esse processo até obter a precisão que deseja, ou seja, até o erro ser menor ou igual ao que ele buscava.
OBS:Para melhor entendimento, vide "Aprimorando Cos(x)".

Aprimorando a Cos(x)

Temos acima a ilustração de um método de interpolação da cos(x).
Iniciamos com 3 pontos, e para executar o passo seguinte, inserimos como ponto da função os pontos médios de pontos existentes na função, tomados 2 a 2.
Realizamos o passo de aprimoramento apenas 4 vezes, e seu resultado é claro, tal como se pode observar.
OBS:para entender mlhor o processo, veja os artigos "Como interpolar-Passo a passo" e "cálculo do erro").

Parábola

Temos aqui um exemplo d função que é extremamente trabalhada no ensino fundamental e médio; a f(x) = X².
Temos nas imagens acima um exemplo de melhora de interpolação, uma vez que o número de pontos foi aumentado.

Curiosidade

Alguns softwares usam os mecanismos da interpolação polinomial para esboçar os gráficos que conhecemos.
Os próprios gráficos deste blog didático foram gerados no Microsoft Excel.

Exp(x) - Mais precisão

Num intervalo reduzido, podemos observar melhor como as dezenas de retas usadas criam com precisão considerável o gráfico da função exp(x).

Exponencial

Através da interpolação de pontos que, de fato, pertencem a função exponencial, foi gerado o gráfico da função exp(x).

Ln(x) - Mais precisão

Nesta imagem, temos uma bela aproximação num intervalo pequeno da função Ln(x), de modo que podemos observar que as dezenas de retas que aparecem na imagem formam com boa precisão o gráfico almejado.

O gráfico Ln(x)

O gráfico da função Ln(x) pode ser gerado através da interpolação polinomial de grau 1, tal como ilustra a imagem.

Cos(x) zoom

Num intervalo extremamente pequeno, podemos ver que as funções, tais como a cos(x) de nosso exemplo, são compostas por minúsculas retas, logo, a aproximação destas funções, utilizando a interpolação polinomial de grau 1 é justificável.

Cos(x) - região de máximo

Este é um exemplo de uma região que contém um ponto de máximo da função cos(x). Vemos que a interpolação usada teve sucesso, uma vez que as diversas retas tomadas num intervalo curto geraram um gráfico bem preciso do que é, de fato,este trecho de cos(x).

Um caso importante... Cos(x)

Sabemos que os métodos da interpolação são úteis para criar gráficos de funções trigonométricas, tais como sen(x) ou cos(x), mas para a se obter um gráfico razoável é preciso cuidado com o número de pontos e na escolha dos pontos que serão utilizados.
O gráfico acima é um exemplo claro de uma má interpolação, feita com poucos pontos que foram mal escolhidos, ou a imagem acima parece a função cos(x) para você?

Cos(x)

Temos aqui uma função periódica, por isso, apenas uma parte dela está exposta, mas isso já é suficiente para perceber como a interpolação é viável na criação de gráficos desse tipo de função.
O gráfico da função seno pode ser obtido por um deslocamento da cosseno no eixo x por isso não nos preocuparemos em ilustrá-la.

O que é interpolação ?

É um metodo utilizado quando queremos determinar a forma analítica da função, mas temos somente uma tabela obtida através de experimentos.Determinar essa função que passa por todos os pontos da tabela é o que chamamos de interpolação.
Para fins didáticos utilizaremos a interpolação polinomial de grau 1, isto é, iremos aproximar os dados da tabela por retas que passam por pontos da tabela dois a dois, obtendo assim uma aproximção do gráfico desejado.